מיליון דולר לפתרון חידה של 160 שנה: משוואת נאוויה-סטוקס שמציקה למתמטיקאים הגדולים בעולם

מבוא

שאלות פשוטות כמו "איך זורם מים בצינור?" ו"איך נע אוויר סביב כנף מטוס?" מסתירות אחת החידות המתמטיות המסובכות ביותר בהיסטוריה – בעיית נאוויה-סטוקס. מאז שנוסחו השאלות במאה ה-19, הן מציבות אתגרים רבים בפני מתמטיקאים, כאשר הפתרון שלהן עשוי לשנות את הבנתנו את דינמיקת הנוזלים.

מהן משוואות נאוויה-סטוקס?

בשנת 1822, המתמטיקאי הצרפתי קלוד-לואי נאוויה ניסח סט משוואות המתארות כיצד נוזלים זורמים תחת השפעת כוחות שונים, ולאחר 23 שנה, האירי ג'ורג' גבריאל סטוקס שיפר אותן. משוואות אלו מנבאות כיצד יתנהגו כל דבר זורם, החל במזג האוויר ועד לזרימת דם בעורקים, והן בסיסיות עבור תעשיית ההנדסה והמדע.

הבעיה שלא נפתרה

אף על פי שהמשוואות משמשות בהצלחה רבה, ישנה שאלה מרכזית שנותרה ללא מענה: האם תמיד קיים פתרון חלק ומוגדר למשוואות אלה? במילים פשוטות, האם ניתן להבטיח שכאשר מתארים זרימת נוזל, המשוואות תמיד ייתנו תשובות מסודרות ולא יתפוצצו או יזנקו לאינסוף?

אתגרים טכניים

האתגר המשמעותי נובע מהמורכבות של המשוואות, במיוחד בממד תלת-ממדי. בזמן שבממד דו-ממדי ישנן התקדמויות, בממד תלת-ממדי מדובר בסיפור שונה לחלוטין.

התקדמות במחקר

בשנות ה-30 של המאה ה-20, המתמטיקאי ז'אן לריי הוכיח את קיום הפתרונות "החלשים" למשוואות, אך זה לא היה פתרון מלא. מאוחר יותר, המתמטיקאית אולגה לדיז'נסקאיה פיתחה טכניקות שנותנות הבנה טובה יותר לתופעות מסוימות, אך עדיין לא המענה הכולל. בשנת 2000, מכון קליי כלל את בעיית נאוויה-סטוקס כאחת משבע "בעיות המילניום", עם פרס של מיליון דולר עבור מי שיפתור אותה.

אחרונים מחקרים

בשנים האחרונות, מתקדמים מתמטיקאים כמו טרנס טאו, שהראה שהקיום של פתרונות "מתפוצצים" הוא נדיר במבנה שמיוחד. כמו כן, שימוש בכלים מתורת ההסתברות מספק הבנות חדשות לגבי יציבות הפתרונות במקרים מסוימים.

למה זה חשוב?

פתרון הבעיה יכול לשדרג את תחזיות מזג האוויר, לשפר את תכנון המטוסים, ואף למנף פריצות דרך ברפואה בתחום זרימת הדם.

סיכום

למרות השימוש הנרחב במשוואות נאוויה-סטוקס והצלחות בהנדסה, המתמטיקאים ממשיכים לחפש את הפתרון הסופי. 160 שנה לאחר שנוסחו לראשונה, האתגר הקונקרטי נותר פתוח, והמיליון דולר ממשיך להמתין למי שיצליח לפצח אותו